© Copyright StatSoft, Inc., 1984-2024
- Podstawowe pojęcia analizy komponentów wariancyjnych
- Estymacja komponentów wariancyjnych (informacje techniczne)
Rozdział Komponenty wariancyjne i model mieszany ANOVA/ANCOVA obejmuje szeroki zakres technik służących do analizy układów badawczych zawierających efekty losowe; jednakże nadaje się on także doskonale do analizy układów z dużą liczbą efektów głównych (np. dla układów, które zawierają ponad 200 poziomów w obrębie czynnika), układów z wieloma czynnikami w których nie interesują nas interakcje wyższego rzędu oraz układów analizy wymagających ważenia przypadków.
W podręczniku istnieje kilka rozdziałów, w których omawiana jest analiza wariancji w układach czynnikowych lub bardziej specjalistycznych. Omówienie tych modułów oraz rodzajów układów dla których one najlepiej się nadają możemy znaleźć w części Metody przeznaczone do przeprowadzania analizy wariancji . Zauważmy, że rozdział Ogólne modele liniowe opisuje jak analizować układy o dowolnej liczbie i typie efektów międzygrupowych i obliczać oceny komponentów wariancyjnych w oparciu o wyniki ANOVA dla dowolnego efektu w przypadku analizy modelu mieszanego.
Podstawowe pojęcia analizy komponentów wariancyjnych
Czasami błędnie uważa się, że eksperymentowanie polega tylko na manipulowaniu poziomem zmiennych niezależnych oraz obserwowaniu reakcji ze strony zmiennych zależnych. O zmiennych niezależnych w przypadku których poziomy są wymuszane lub ustalane przez eksperymentatora, mówi się, że odzwierciedlają wpływ efektów stałych . Istnieje jednak również druga grupa efektów, która często bardzo interesuje badacza. Efekty losowe stanowią efekty klasyfikacyjne w przypadku których zakłada się, że ich poziomy są dobierane w sposób losowy z nieskończonej populacji możliwych poziomów. Wiele zmiennych niezależnych znajdujących się w orbicie zainteresowań badacza nie w pełni poddaje się kontroli doświadczalnej, niemniej jednak mogą one być uważane za odzwierciedlające wpływ efektów losowych . Przykładowo, struktura genetyczna pojedynczego przedstawiciela gatunku nie może być (całkowicie) kontrolowana doświadczalnie, ciągle jeszcze duże zainteresowanie genetyków budzi problem oszacowania udziału czynnika genetycznego w przypadku indywidualnej zmienności takich cech jak zdrowie, charakterystyki zachowania i tym podobne. Jako inny przykład można rozważyć sytuację w której producent chciałby ocenić składowe zmienności cech produktu w przypadku losowej próby maszyn obsługiwanych przez losowo dobraną próbę operatorów. Statystyczna analiza efektów losowych jest przeprowadzana przy pomocy modelu o efektach losowych w sytuacji, gdy w stosunku do wszystkich zmiennych niezależnych można przyjąć, że określają one wpływ efektów losowych lub poprzez zastosowanie modelu mieszanego, w przypadku gdy niektóre ze zmiennych niezależnych określają wpływ efektów losowych a pozostałe wpływ efektów stałych .
Własności efektów losowych. Aby zilustrować niektóre własności efektów losowych przypuśćmy, że zgromadziliśmy dane na temat wielkości szkód wyrządzonych przez szkodniki w stosunku do różnych odmian pszenicy. Byłoby niepraktyczne badanie szkód wyrządzonych przez szkodniki dla każdej możliwej odmiany pszenicy, więc w celu przeprowadzenia doświadczenia wybieramy losowo cztery odmiany pszenicy do badań. Szkody roślinne zostały ocenione w oparciu o maksimum cztery poletka na odmianę. Oceny przyjęto na skali od 0 (brak szkód) do 10 (duże szkody). Dane do bieżącego przykładu pochodzą z książki Milikena i Johnsona (1992, str. 237).
| DANE: wheat.sta 3v | ||
|---|---|---|
| ODMIANA | POLETKO | SZKODY |
| A A A B B B B C C C C D D | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 | 3.90 4.05 4.25 3.60 4.20 4.05 3.85 4.15 4.60 4.15 4.40 3.35 3.80 |
Dla określenia komponentów zmienności w zakresie odporności na szkody wywołane przez owady w obrębie Odmiany i Poletka możemy najpierw przeprowadzić analizę wariancji (ANOVA). Może być to nieco zaskakujące, ale w modelu ANOVA, Odmiana może być traktowana jako czynnik o charakterze stałym lub losowym i nie ma to wpływu na rezultaty (pod warunkiem, że wybierzemy opcję Sumy kwadratów typu I oraz, że Odmiana jest zawsze wprowadzana do modelu jako pierwsza). Poniższy arkusz wyników pokazuje rezultaty ANOVA w przypadku analizy modelu mieszanego, gdy traktujemy Odmianę jako efekt stały oraz pomijamy Poletko, tzn. traktujemy zmienność od poletka do poletka jako miarę błędu losowego.
| Rezultaty ANOVA: SZKODY (wheat.sta) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Efekt | Efekt (S/L) | df efektu | ŚK efektu | df błędu | ŚK błędu | F | p |
| {1}Odmiana | Stały | 3 | .270053 | 9 | .056435 | 4.785196 | .029275 |
Innym sposobem przeprowadzenia takiej samej analizy modelu mieszanego jest potraktowanie Odmiany jako efektu stałego , a Poletka jako efektu losowego . Poniższy arkusz wyników pokazuje rezultaty ANOVA w przypadku analizy modelu mieszanego.
| Rezultaty ANOVA dla błędów połączonych: SZKODY (wheat.sta) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| df błędu obliczane przy pomocy metody Satterthwaitea | |||||||
| Efekt | Efekt (S/L) | df efektu | ŚK efektu | df błędu | ŚK błędu | F | p |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO | Stały Losowy | 3 9 | .270053 .056435 | 9 ----- | .056435 ----- | 4.785196 ----- | .029275 ----- |
Poniższy arkusz wyników pokazuje rezultaty ANOVA dla modelu efektu losowego przy potraktowaniu Poletka jako efektu losowego zagnieżdżonego w obrębie Odmiany, która jest również traktowana jako efekt losowy .
| Rezultaty ANOVA dla błędów połączonych: SZKODY (wheat.sta) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| df błędu obliczane przy pomocy metody Satterthwaitea | |||||||
| Efekt | Efekt (S/L) | df efektu | ŚK efektu | df błędu | ŚK błędu | F | p |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO | Losowy Losowy | 3 9 | .270053 .056435 | 9 ----- | .056435 ----- | 4.785196 ----- | .029275 ----- |
Jak to można zauważyć, testy istotności dla efektu Odmiany są identyczne we wszystkich trzech przypadkach analiz (w rzeczywistości jest nawet więcej sposobów uzyskania takich samych rezultatów). Jednak przy ocenie komponentów wariancyjnych różnica pomiędzy modelem mieszanym (traktując Odmianę jako efekt stały) i modelem losowym (traktując Odmianę jako efekt losowy) stają się widoczne. Poniższy arkusz wyników pokazuje oceny komponentów wariancyjnych dla modelu mieszanego przy potraktowaniu Odmiany jako efektu stałego .
| Składniki wariancji (wheat.sta) | |
|---|---|
| Typ Sum Kwadratów: 1 | |
| Źródło | SZKODY |
| {2}POLETKO Błąd | .056435 0.000000 |
Poniższy arkusz wyników pokazuje oceny komponentów wariancyjnych dla modelu efektów losowych przy traktowaniu Odmiany i Poletka jako efektów losowych .
| Składniki wariancji (wheat.sta) | |
|---|---|
| Typ Sum Kwadratów: 1 | |
| Źródło | SZKODY |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO Błąd | .067186 .056435 0.000000 |
Jak to można zauważyć, różnica między tymi dwoma zbiorami ocen polega na tym, że w przypadku Odmiany komponent wariancyjny jest szacowany tylko wówczas gdy jest on traktowany jako efekt losowy . Oddaje to podstawową różnicę pomiędzy efektami stałymi i efektami losowymi . Zakłada się, że zmienność poziomów czynników losowych jest reprezentatywna dla zmienności całej populacji wszystkich możliwych poziomów. Tak więc zmienność pomiędzy poziomami czynnika losowego może zostać użyta do oceny zmienności w populacji. Co ważniejsze, kowariancja pomiędzy poziomami czynnika losowego a reakcjami zmiennej zależnej może zostać wykorzystana do oceny populacyjnego składnika wariancji dla zmiennej zależnej przypisywanego czynnikowi losowemu. Natomiast przyjmuje się, że zmienność poziomów czynników losowych jest przyjmowana arbitralnie przez eksperymentatora (tzn. eksperymentator może ustalać małe lub duże różnice między poziomami w zależności od wymagań). Stąd też zmienność czynnika stałego nie może zostać użyta do oceny jego wariancji populacyjnej ani nie można znacząco oszacować populacyjnej kowariancji ze zmienną zależną. Mając na względzie tę podstawową różnicę pomiędzy efektami stałymi a efektami losowymi możemy teraz bliżej przyjrzeć się własnościom komponentów wariancyjnych .
| Indeks |
Estymacja komponentów wariancyjnych (informacje techniczne)
Głównym celem estymacji komponentów wariancyjnych jest oszacowanie populacyjnej kowariancji pomiędzy czynnikami losowymi a zmienną zależną. W zależności od użytej metody estymacji komponentów wariancyjnych można również oszacować wariancję populacyjną czynników losowych oraz przeprowadzić testy istotności oceniające, czy populacyjna kowariancja pomiędzy czynnikami losowymi a zmienną zależną różni się od zera.
Estymacja zmienności czynników losowych. Metoda ANOVA umożliwia całościowe podejście do zagadnienia estymacji komponentów wariancyjnych , ponieważ techniki ANOVA mogą zostać wykorzystane do oceny wariancji czynników losowych, estymacji składników wariancji zmiennej zależnej przypisanej do czynników losowych oraz sprawdzania czy komponenty wariancyjne różnią się istotnie od zera. Metoda ANOVA służąca do estymacji wariancji czynników losowych rozpoczyna się od skonstruowania macierzy sum kwadratów i iloczynów mieszanych (SSCP) dla zmiennych niezależnych. Następnie tworzone są resztowe sumy kwadratów i iloczyny mieszane dla efektów losowych w stosunku do efektów stałych dla zachowania niezależności efektów losowych od efektów stałych , jak to jest wymagane w przypadku modelu mieszanego (patrz dla przykładu, Searle, Casella i McCulloch, 1992). Z kolei resztowe sumy kwadratów i iloczyny mieszane dla każdego czynnika losowego są dzielone przez odpowiadające im liczby stopni swobody w celu utworzenia współczynników występujących w macierzy oczekiwanych średnich kwadratów. Niezerowe wartości współczynników leżących poza główną przekątną macierzy dla efektów losowych oznaczają uwikłanie, które należy brać pod uwagę podczas estymacji populacyjnej wariancji dla każdego czynnika. W przypadku danych zawartych w pliku wheat.sta i potraktowaniu zarówno Odmiany jak i Poletka jako efektów losowych macierz oczekiwanych średnich kwadratów pokazuje, że czynniki te są przynajmniej w pewnym stopniu uwikłane. Arkusz wyników z oczekiwanymi średnimi kwadratami pokazano poniżej.
| Oczekiwane średnie kwadraty (wheat.sta) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Typ średnich kwadratów: 1 | ||||
| Źródło | Efekt (S/L) | ODMIANA | POLETKO | Błąd |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO Błąd | Losowy Losowy | 3.179487 | 1.000000 1.000000 | 1.000000 1.000000 1.000000 |
Współczynniki występujące w macierzy oczekiwanych średnich kwadratów są wykorzystywane do oceny populacyjnej wariancji efektów losowych poprzez przyrównanie ich wariancji do oczekiwanych średnich kwadratów. Na przykład, estymowana wariancja w populacji dla Odmiany przy zastosowaniu sum kwadratów Typu I powinna wynosić 3.179487 razy średni kwadrat dla Odmiany plus 1 razy średni kwadrat dla Poletka plus 1 razy średni kwadrat dla Błędu.
Metoda ANOVA umożliwia całościowe podejście do estymacji komponentów wariancyjnych , lecz nie odbywa się to bez pewnych problemów (tzn. oceny otrzymane przy pomocy metody ANOVA są generalnie obciążone i mogą być nawet ujemne, mimo iż zgodnie z definicją wariancja musi przyjmować wartości dodatnie lub zero). Podejście alternatywne do metody ANOVA umożliwia estymacja metodą największej wiarygodności . Metody największej wiarygodności służące do estymacji komponentów wariancyjnych wykorzystują formy kwadratowe i zazwyczaj (choć nie zawsze) dla otrzymania rozwiązania wymagają procedury iteracyjnej. Prawdopodobnie najprostszą postacią estymacji metodą największej wiarogodności jest metoda MIVQUE(0). Metoda MIVQUE(0) tworzy nieobciążone estymatory za pomocą minimalizacji kwadratu wariancji (MIVQUE). W przypadku estymacji metodą MIVQUE(0) nie występuje ważenie efektów losowych (stąd 0 po MIVQUE), tak więc nie jest wymagane rozwiązanie iteracyjne przy estymacji komponentów wariancyjnych. Estymacja metodą MIVQUE(0) rozpoczyna się od utworzenia macierzy sum kwadratów podniesionych do kwadratu (SSQ). Elementy odpowiadające efektom losowym w macierzy SSQ można w najprostszy sposób opisać jako sumy kwadratów sum kwadratów i iloczynów mieszanych dla każdego efektu losowego w modelu (po utworzeniu reszt odpowiadających efektom stałym ). Elementy tej macierzy dostarczają współczynników podobnych do elementów macierzy oczekiwanych średnich kwadratów, które są wykorzystywane do estymacji kowariancji pomiędzy czynnikami losowymi a zmienną zależną. Macierz SSQ dla danych zawartych w pliku wheat.sta pokazano poniżej. Zauważmy, że niezerowe wartości elementów leżących poza główną przekątną dla Odmiany i Poletka ponownie pokazują, że te dwa czynniki losowe są przynajmniej trochę uwikłane.
| Estymacja komponentów wariancyjnych metodą MIVQUE(0) (wheat.sta) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Macierz SSQ | ||||
| Źródło | ODMIANA | POLETKO | Błąd | SZKODY |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO Błąd | 31.90533 9.53846 9.53846 | 9.53846 12.00000 12.00000 | 9.53846 12.00000 12.00000 | 2.418964 1.318077 1.318077 |
Metoda największej wiarygodności ograniczona (REML) oraz największej wiarygodności (ML) służące do estymacji komponentów wariancyjnych są blisko powiązane z metodą MIVQUE(0). Tak naprawdę w przypadku metod REML i ML program wykorzystuje oceny uzyskane przy pomocy metody MIVQUE(0) jako wartości początkowe dla iteracyjnego procesu uzyskiwania komponentów wariancyjnych , tak więc elementy macierzy SSQ służą jako wstępne oceny estymatorów kowariancji pomiędzy czynnikami losowymi a zmienną zależną zarówno w przypadku metody REML, jak i ML.
| Indeks |
Estymacja składników wariancji. W przypadku estymacji komponentów wariancyjnych metodą ANOVA znajdywane jest rozwiązanie dla układu równań ujmujących powiązania szacowanych populacyjnych wariancji i kowariancji pomiędzy czynnikami losowymi z szacowanymi populacyjnymi kowariancjami pomiędzy czynnikami losowymi i zmienną zależną. Rozwiązanie określa komponenty wariancyjne. Poniższy arkusz wyników pokazuje oceny Sum kwadratów Typu I dla komponentów wariancyjnych w przypadku danych zawartych w pliku wheat.sta.
| Składniki wariancji (wheat.sta) | |
|---|---|
| Średnie kwadraty typu: 1 | |
| Źródło | SZKODY |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO Błąd | 0.067186 0.056435 0.000000 |
Estymacja komponentów wariancyjnych metodą MIVQUE(0) jest przeprowadzana poprzez odwrócenie fragmentu macierzy SSQ, który nie zawiera zmiennej zależnej (lub znalezienie uogólnionej odwrotności macierzy osobliwej), a następnie pomnożenie odwrotności przez wektor kolumnowy zmiennej zależnej. Jest to równoważne z rozwiązaniem układu równań, który wiąże zmienną zależną z losowymi zmiennymi niezależnymi biorąc pod uwagę kowariancję pomiędzy zmiennymi niezależnymi. Oceny uzyskane metodą MIVQUE(0) dla danych zawartych w pliku wheat.sta zostały podane w zamieszczonym poniżej arkuszu wyników.
| Estymacja komponentów wariancyjnych metodą MIVQUE(0) (wheat.sta) | |
|---|---|
| Komponenty wariancyjne | |
| Źródło | SZKODY |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO Błąd | 0.056376 0.065028 0.000000 |
Komponenty wariancyjne uzyskiwane przy pomocy metody REML i ML są szacowane poprzez iteracyjną optymalizację ocen parametrów dla efektów występujących w modelu. Metoda REML różni się od metody ML tym, że funkcja wiarygodności danych jest maksymalizowana tylko dla efektów losowych , dlatego też REML daje ograniczone rozwiązanie. Zarówno w przypadku estymacji metodą REML, jak i metodą ML dla wag efektów losowych w modelu jest znajdywane rozwiązanie iteracyjne, które maksymalizuje funkcję wiarygodności danych. Program wykorzystuje oceny uzyskane metodą MIVQUE(0) jako wartości początkowe zarówno w przypadku metody REML, jak i metody ML; tak więc powiązanie pomiędzy tymi trzema metodami jest rzeczywiście bardzo bliskie. Teoria statystyczna leżąca u podstaw technik estymacji komponentów wariancyjnych metodą największej wiarygodności stanowi złożone zagadnienie (jako autorytatywne i wyczerpujące źródło polecamy pozycję Searlea, Caselli i McCullocha, 1992). Poza tym implementacja algorytmów estymacji komponentów wariancyjnych metodą największej wiarygodności jest trudna (opisy tych algorytmów można znaleźć w podręcznikach Hemmrlea i Hartleya, 1973 oraz Jennricha i Sampsona, 1976), a nieprawidłowa implementacja może prowadzić do ocen komponentów wariancyjnych leżących poza przestrzenią parametrów, powodować przedwczesną zbieżność do nieoptymalnych rozwiązań lub dawać nieprawidłowe rezultaty. Milliken i Johnson (1992) zwracali uwagę na problemy, które pojawiały się w przypadku komercyjnych pakietów statystycznych wykorzystywanych przez nich do estymacji komponentów wariancyjnych.
Podstawowa idea leżąca u podstaw estymacji metodą REML i ML polega na znalezieniu zbioru wag dla efektów losowych w modelu, które minimalizują iloczyn ujemnej wartości logarytmu naturalnego przez wiarygodność danych (wiarygodność danych może zmieniać się od 0 do 1 więc minimalizowanie iloczynu ujemnej wartości logarytmu naturalnego przez wiarogodność danych jest równoważne maksymalizacji prawdopodobieństwa lub wiarygodności danych). Wartości logarytmu wiarygodności w przypadku zastosowania metody REML oraz oceny komponentów wariancyjnych dla danych zawartych w pliku wheat.sta zostały podane w ostatnim wierszu arkusza wyników Przebieg iteracji, który zamieszczono poniżej.
| Przebieg iteracji (wheat.sta) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Zmienna: SZKODY | ||||
| Iter. | Log LL | Błąd | ODMIANA | |
| 1 2 3 4 5 6 7 | -2.30618 -2.25253 -2.25130 -2.25088 -2.25081 -2.25081 -2.25081 | .057430 .057795 .056977 .057005 .057006 .057003 .057003 | .068746 .073744 .072244 .073138 .073160 .073155 .073155 | |
Wartości logarytmu wiarygodności w przypadku metody ML oraz oceny komponentów wariancyjnych dla danych zawartych w pliku wheat.sta zostały podane w ostatnim wierszu arkusza wyników Przebieg iteracji, który zamieszczono poniżej.
| Przebieg iteracji (wheat.sta) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Zmienna: SZKODY | ||||
| Iter. | Log LL | Błąd | ODMIANA | |
| 1 2 3 4 5 6 | -2.53585 -2.48382 -2.48381 -2.48381 -2.48381 -2.48381 | .057454 .057427 .057492 .057491 .057492 .057492 | .048799 .048541 .048639 .048552 .048552 .048552 | |
Jak łatwo zauważyć, oceny komponentów wariancyjnych uzyskiwane przy pomocy różnych metod są całkiem zbliżone. Zazwyczaj przy stosowaniu różnych metod estymacji składniki wariancji wykazują dość dużą zgodność (patrz na przykład, Swallow i Monahan, 1984).
| Indeks |
Testowanie istotności komponentów wariancyjnych. W przypadku stosowania technik estymacji metodą największej wiarygodności mogą nie mieć zastosowania standardowe techniki testowania istotności przy pomocy modelu liniowego. Techniki ANOVA, takie jak dekompozycja sum kwadratów i testowanie istotności efektów przy pomocy ilorazów średnich kwadratów są odpowiednie dla liniowych metod estymacji, ale zazwyczaj nie mają zastosowania w przypadku kwadratowych metod estymacji. Kiedy do estymacji stosujemy metody ANOVA, wówczas możemy wykorzystać standardowe techniki testowania istotności z zastrzeżeniem, że wszelkie uwikłania pomiędzy efektami losowymi efektami losowymi muszą być brane pod uwagę.
Aby testować istotność efektów w przypadku modeli mieszanych lub losowych, należy skonstruować źródła błędów, zawierające te same źródła zmienności losowej za wyjątkiem zmienności efektu będącego przedmiotem zainteresowania. Jest to dokonywane przy pomocy metody Satterthwaite'a łączenia mianownika (Satterthwaite, 1946), która znajduje liniowe kombinacje źródeł zmienności losowej służące jako odpowiednie źródła błędu przy testowaniu istotności odpowiedniego efektu będącego przedmiotem zainteresowania. Zamieszczony poniżej arkusz wyników pokazuje współczynniki wykorzystane do utworzenia tych kombinacji liniowych przy testowaniu wpływów efektu Odmiany i Poletka.
| Łączenia mianownika: Współczynniki (ŚK Typu: 1) (wheat.sta) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Połączone ŚK błędów są liniowymi kombinacjami odpowiednich ŚK efektów | ||||
| Efekt | (S/L) | ODMIANA | POLETKO | Błąd |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO | Losowy Losowy | | 1.000000 | 1.000000 |
Wartości współczynników pokazują, że Średni kwadrat dla Odmiany powinien być testowany względem Średniego kwadratu dla Poletka, oraz że Średni kwadrat dla Poletka powinien być testowany względem Średniego kwadratu dla Błędu. Wracając do arkusza wyników Oczekiwanych średnich kwadratów staje się jasne, że połączenie mianownika pozwoliło zidentyfikować odpowiednie źródła błędu przy testowaniu efektów Odmiany i Poletka. Chociaż jest to prosty przykład to jednak w przypadku bardziej złożonych analiz z różnymi stopniami uwikłania pomiędzy efektami losowymi metoda łączenia mianownika pozwala na identyfikację odpowiednich źródeł błędów przy testowaniu efektów losowych , które w innym przypadku nie byłyby łatwo widoczne.
W celu przeprowadzenia testów istotności efektów losowych tworzone są ilorazy odpowiednich Średnich kwadratów służące do obliczania statystyki F oraz poziomów p dla każdego efektu. Zauważmy, że w przypadku złożonych analiz liczba stopni swobody dla efektów losowych może być liczbą ułamkową co oznacza, że w trakcie łączenia odpowiednich źródeł błędu przy testowaniu efektów losowych użyto częściowe źródła zmienności. Poniżej przedstawiono arkusz wyników zawierający rezultaty analizy wariancji dla efektów losowych Odmiany i Poletka. Zauważmy, że dla tego prostego układu wyniki są identyczne jak w przypadku prezentowanych wcześniej w arkuszu wyników dla ANOVA przy potraktowaniu Poletka jako efektu losowego zagnieżdżonego w obrębie Odmiany.
| Wyniki ANOVA dla połączonych błędów: SZKODY (wheat.sta) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| df dla błędu obliczono przy pomocy metody Satterthwaitea | |||||||
| Efekt | Efekt (S/L) | df efektu | ŚK efektu | df błędu | ŚK błędu | F | p |
| {1}ODMIANA {2}POLETKO | Stały Losowy | 3 9 | .270053 .056435 | 9 ----- | .056435 ----- | 4.785196 ----- | .029275 ----- |
Jak to pokazano w arkuszu, wpływ Odmiany okazał się istotny przy p < 0,05 ale, jak tego można było oczekiwać, wpływ Poletka nie możne być testowany, ponieważ poletka służyły jako podstawowa jednostka analizy. Gdyby były dostępne dane na temat prób poletek pobranych z populacji poletek, wówczas mógłby zostać skonstruowany test do badania istotności wpływu Poletka.
W przypadku estymacji komponentów wariancyjnych przy pomocy metody MIVQUE(0) zazwyczaj nie mogą być konstruowane odpowiednie testy istotności, oprócz pewnych szczególnych przypadków (patrz Searle, Casella i McCulloch, 1992). Jednakże dla ocen parametrów na podstawie końcowej iteracji rozwiązania mogą być konstruowane asymptotyczne (dla dużych prób) testy istotności komponentów wariancyjnych uzyskanych przy pomocy metody REML lub ML. Zamieszczony poniżej arkusz pokazuje asymptotyczne (dla dużych prób) testy istotności dla ocen uzyskanych metodą REML w przypadku danych zawartych w pliku wheat.sta.
| Oceny uzyskane metodą REML (wheat.sta) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Zmienna: SZKODY -2*Log(wiarygodności)=4.50162399 | ||||
| Efekt | Składniki wariancji | Asympt. błąd stnd. | Asympt. z | Asympt. p |
| {1}ODMIANA Błąd | .073155 .057003 | .078019 .027132 | .937656 2.100914 | .348421 .035648 |
Zamieszczony poniżej arkusz wyników pokazuje asymptotyczne (dla dużych prób) testy istotności dla ocen uzyskanych metodą ML w przypadku danych zawartych w pliku wheat.sta.
| Oceny uzyskane metodą ML (wheat.sta) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Zmienna: SZKODY -2*Log(wiarygodności)=4.96761616 | ||||
| Efekt | Składniki wariancji | Asympt. błąd stnd. | Asympt. z | Asympt. p |
| {1}ODMIANA Błąd | .048552 .057492 | .050747 .027598 | .956748 2.083213 | .338694 .037232 |
Należy pokreślić, że asymptotyczne testy istotności ocen komponentów wariancyjnych uzyskane metodą REML i ML opierają się na próbach o dużych licznościach, co oczywiście nie ma miejsca w przypadku danych zawartych w pliku wheat.sta. Dla tego zbioru danych testy istotności obydwu analiz zgodnie sugerują, że komponent wariancyjny dla Odmiany nie różni się istotnie od zera.
Więcej informacji na temat analizy wariancji w modelach liniowych znajdziemy w rozdziale Podstawowe pojęcia statystyki .
| Indeks |
Estymacja populacyjnego współczynnika korelacji wewnątrzklasowej. Zauważmy, że jeśli w przypadku ocen komponentów wariancyjnych dla efektów losowych w modelu podzielimy je przez sumę wszystkich składników (łącznie z błędem), wówczas otrzymany iloraz stanowi populacyjne współczynniki korelacji wewnątrzklasowej dla odpowiednich efektów.
| Indeks |
STATISTICA is a trademark of StatSoft, Inc.